Mathmatic

数学字符发音

\(\hat{x}\) 读作：x hat

\(\bar{x}\) 读作：x bar

\(x\prime\) 读作：x prime

\(\dot{x}\) 读作：x dot

\(\tilde{x}\) 读作： x tilde

补充相关数学字符发音：Pronunciation of mathematical symbols

知识点

\(\delta(t)\) 冲激函数 \(Kronecker \ Delta\)函数

\(ODE:Ordinary Differential Equation\) 常微分方程

\(O(x^2)\)表示\(x^2\)的同阶无穷小，\(\omicron o(x^2)\)表示\(x^2\)的高阶无穷小

\(C^n[a, b]\)：这表示在区间\([a,b]\)上具有连续\(n\)次导数的函数集合。

\(f \in C^n[a, b]\)：函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上（至少）具有\(n\)阶连续导数。

特殊地，\(f \in C^1[a, b]\)：函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上（至少）具有\(1\)阶连续导数。

\(f \in C^0[a, b]\)：这不是一个常见的表示形式，因为通常表示零阶连续函数（即连续函数）的集合，而零阶导数的概念并不是很有意义。在一般的数学文献中，一般将连续函数的集合表示为\(f \in C[a, b]\)

\(f \in C[a, b]\)：函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上是连续的。

\(\mathbb{R}^n\)表示\(n\)维实数向量空间。这是一个由所有包含\(n\)个实数元素的向量组成的集合。这里的\(\mathbb{R}^n\)表示实数集，而上标\(n\)表示向量的维度，即向量中实数元素的个数。

\(\mathbb{R}^n\)中的一个典型元素可以写作\((x_1,x_2,...,x_n)\)，其中\(x_1,x_2,...,x_n\)是实数。这样的元素就是\(n\)维实数向量，可以用来表示\(n\)维空间中的一个点。

若\(\varphi_0(x),\varphi_1(x),...,\varphi_{n-1}(x)\)是\([a,b]\)上的线性无关函数，且\(a_0,a_1,...,a_{n-1}\)是任意实数，则

\[S(x)=a_0\varphi_0(x)+a_1\varphi_1(x)+...+a_{n-1}\varphi_{n-1}(x)\]

的全体是\(C[a,b]\)中的一个子集，记作

\[\Phi=span\{\varphi_0,\varphi_1,...,\varphi_{n-1}\}\]

上式表示由这组线性无关的函数\(\varphi_k(x),(k=0,1,...,n-1)\)，所张成的子空间，或子集。即\([a,b]\)区间上连续函数空间的一个子集。

定理

\(Rolle's \ \ Theorem:\) 若\(f(x)\)充分光滑，\(\varphi(x_0)=\varphi(x_1)=0\)，则\(\exists \ \xi \in [x_0,x_1]\)使得\(\varphi^{'}(\xi)=0\)

定理中的充分光滑指的是满足任意阶可导任意阶连续

二元函数的\(Taylor's formula\)：

\[f(x, y) = f(a, b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a, b)(x - a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)(y - b) + \frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a, b)(x - a)^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b)(x - a)(y - b) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a, b)(y - b)^2\right) + \cdots \]

这里，\(f(x, y)\)是二元函数，\((a,b)\)是展开点，而\(\frac{\partial f}{\partial x}\)，\(\frac{\partial f}{\partial y}\)，\(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)，\(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)，\(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)，等分别表示函数\(f(x, y)\)关于\(x\)和\(y\)的一阶和二阶偏导数。